حل تمرین و فعالیت کلاسی صفحه 5 ریاضی یازدهم

**فاصلهٔ $A$ و $B$:** نقاط $A(x_A, 0)$ و $B(x_B, 0)$ روی محور $x$ قرار دارند. فاصلهٔ آن‌ها تفاضل طول‌هایشان است: $$AB = |x_B - x_A|$$ **فاصلهٔ $C$ و $D$:** نقاط $C(0, y_C)$ و $D(0, y_D)$ روی محور $y$ قرار دارند. فاصلهٔ آن‌ها تفاضل عرض‌هایشان است: $$CD = |y_D - y_C|$$ **در حالت کلی می‌توان گفت:** * **فاصلهٔ دو نقطهٔ هم‌عرض (افقی)**: اگر دو نقطهٔ $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ هم‌عرض باشند ($y_A = y_B$)، فاصلهٔ آن‌ها به صورت $$AB = |x_B - x_A|$$ محاسبه می‌شود. * **فاصلهٔ دو نقطهٔ هم‌طول (عمودی)**: اگر دو نقطهٔ $C(x_C, y_C)$ و $D(x_D, y_D)$ هم‌طول باشند ($x_C = x_D$)، فاصلهٔ آن‌ها به صورت $$CD = |y_D - y_C|$$ محاسبه می‌شود.

نقاط داده شده: $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$. **الف) مختصات نقطهٔ $H$** نقطهٔ $H$ هم‌طول با $B$ و هم‌عرض با $A$ است. بنابراین: $$H(x_B, y_A)$$ **ب) طول پاره‌خط‌های $AH$ و $BH$** * پاره‌خط $AH$ افقی است (هم‌عرضی $y_A$): $$AH = |x_B - x_A|$$ * پاره‌خط $BH$ عمودی است (هم‌طولی $x_B$): $$BH = |y_B - y_A|$$ **پ) طول $AB$ به کمک قضیهٔ فیثاغورس** مثلث $ABH$ یک مثلث قائم‌الزاویه در $H$ است. طبق قضیهٔ فیثاغورس، مربع وتر ($AB$) برابر است با مجموع مربع دو ضلع قائم‌الزاویه ($AH$ و $BH$): $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$AB^2 = (|x_B - x_A|)^2 + (|y_B - y_A|)^2$$ چون $(|a|)^2 = a^2$ است: $$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$ با جذر گرفتن از دو طرف، طول پاره‌خط $AB$ به دست می‌آید: $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$ **با توجه به فعالیت قبل می‌توان گفت:** فرمول کلی فاصلهٔ دو نقطه $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ در صفحهٔ مختصات به صورت زیر است: $$d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$